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看看时间,居然花了差不多十五分钟,秦克搓了搓冰冷僵硬的手指,然后用力地掐了下大腿,让自己的大脑保持着清醒,但身上的寒意越来越盛,偏呼出的气息越来越灼热,太阳穴也越来越胀痛,有种隐隐的晕眩感。
秦克能明显感觉自己的思维速度较之开考时又下降了不少。
不行,要再加快点!
秦克深吸口气,强逼自己集中精神,继续看向第二道附加题。
“附加题二:已知△ABC的三条边BC、CA、AB上各有一点D、E、F,且满足AD、BE、CF交于一点G,若△AGE,△CGD,△BGF的面积相等,求证:G是△ABC的重心。”
秦克松了口气,这题看起来较之刚才第一题倒是相对容易了些,主要知识点涉及到的是三角形五心中的“重心”,也就是三角形的三条中线相交的点。
这是高中生都会的知识点,想证明G是△ABC的重心,只需要证明D、E、F是△ABC的中点即可。
看似简单,但想证明这点极不容易,因为题目中只给出了面积相等的条件。
面积啊……
秦克立时试着用最擅长构造法加面积法来证明,但刚在脑海里思考了一会儿便发现不妥了。
以目前的条件,无论怎么构造,结合面积法,都只会让问题变得更复杂,哪怕写满整页纸,也未必能证明出来!那就真是纯属浪费时间和精力了!
这是出题人的陷阱!
可恶,这次出题的家伙有点水平啊……偏偏自己的状态不佳。
秦克再次用力掐了自己大腿两下,剧烈的疼痛终于让他的大脑清明了十几秒,他立时捕捉住一闪而逝的灵光,对哦,平面几何里不是有塞瓦定理、梅涅劳斯定理么?
尤其是解决三角形中的一点,以及三角形的三边中的点之间的关系,最适合使用的就是边元塞瓦定理和角元塞瓦定理!
虽然这两个定理生僻了点,但自己前天不是才给宁青筠讲解过么?
秦克迅速便想到了证明思路,提笔便画了个图,然后写道:
“证明:如图所示,设AFFB=x,BDCD=y,ECEA=z,由边元塞瓦定理可得xyz=1。
对于△BFC和直线AGD,使用梅涅劳斯定理,可得FECG乘CDDB乘BAAF=1。
……
由上式可得x=y=z,由xyz=1可得,x=y=z=1,因此可得出结论,D、E、F是△ABC的中点,所以G是△ABC的重心。原题得证。”
写了三十多行的证明过程,秦克长长地舒了口气,这出题人明显是挖坑,专门针对的是自己这样熟悉运用各种解题技巧策略的考生,一时不慎就要误入岐途。
连他这样的老手也差点着了道儿,被惯用的解题技巧所惑、走个大弯路,使得这题的解法变得极为繁复艰辛,真要证明出来,怕得花上一个小时。
幸好自己迅速发现了其阴谋,直接运用塞瓦定理、梅涅劳斯定理来破题,极大地缩短了证明的过程和耗尽的时间。
——学委啊学委,前天我才给你讲过这塞瓦定理、梅涅劳斯定理,这题你可别中计,可是整整五十分哪!拿不到手多可惜!
不过秦克现在已没余力再去思考宁青筠的事了,他的头脑的晕晕沉沉感觉越来越严重,强打精神匆匆看了下两道附加题的答案,见没什么错漏,便将之折起来,当成垫纸压到正卷和草稿纸下面,开始攻打正卷里的十道省级难题。
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